Moving Average Funktion In R

Bewegen von Durchschnittswerten in R. Zur der besten meines Wissens hat R keine eingebaute Funktion, um gleitende Mittelwerte zu berechnen Mit der Filterfunktion können wir jedoch eine kurze Funktion für bewegte Mittelwerte schreiben. Wir können dann die Funktion auf jedem verwenden Daten mav Daten oder mav Daten, 11 Wenn wir eine andere Anzahl von Datenpunkten als die Standard-5-Plotten als erwartete Plot-Mav-Daten angeben wollen. Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die zu durchschnittlich, können wir auch die Seiten Argument der Filterfunktionen Seiten 2 verwendet beide Seiten, Seiten 1 verwendet nur vergangene Werte. Post Navigation Navigation Navigation Navigation. mav c 4,5,4,6, 3 Zeitreihe Anfang 1 Ende 4 Frequenz 1 1 NA 4 333333 5 000000 NA. Hier habe ich versucht, einen rollenden Durchschnitt zu machen, der die letzten 3 Zahlen berücksichtigt hat, also habe ich erwartet, dass ich nur zwei Nummern zurück bekomme. 4 333333 und 5 und wenn es NA-Werte geben würde, dachte ich, dass sie am Anfang des In der Tat stellt sich heraus, dass das ist, was die Seitenparameter steuern. sides für Faltungsfilter nur Wenn Seiten 1 die Filterkoeffizienten nur für vergangene Werte sind, wenn Seiten 2 sie um die Verzögerung 0 zentriert sind. In diesem Fall sollte die Länge des Filters sein Seltsam, aber wenn es sogar ist, ist mehr von dem Filter vorwärts in der Zeit als rückwärts. So in unserer mav-Funktion der rollende Durchschnitt sieht beide Seiten des aktuellen Wertes anstatt nur bei vergangenen Werten Wir können das optimieren, um das Verhalten zu bekommen, das wir wollen. library zoo rollmean c 4,5,4,6, 3 1 4 333333 5 000000.Ich habe auch realisiert Ich kann alle Funktionen in einem Paket mit der ls-Funktion auflisten, damit ich scannen Zoo s Liste der Funktionen das nächste Mal, wenn ich brauche Um etwas Zeitreihen zu tun, das dort wahrscheinlich schon eine Funktion für it. ls Paketzoo 1 4 7 10 13 16 coredata coredata - 19 facetfree 22 Frequenz - Index 25 index - index2char 28 MATCH 31 34 37 40 43 46 49 ORDER 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 rolllly rollapplyr rollmax 85 rollmaxr rollmean 88 rollmeanr rollmedian 91 rollmedianr rollsum 94 rollsumr scalexyearmon 97 scalexyearqtr scaleyyearmon scaleyyearqtr 100 Zeit - 103 xblocks 106 yearmon yearmontrans 109 jahreszeit jahrqtrtrans zoo 112 zooreg. Be Gesellig, Share. Using R Für Time Series Analysis. Time Series Analysis. This Broschüre sagt Ihnen, wie man die R-statistische Software verwenden, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige grundlegende Kenntnisse der Zeitreihenanalyse hat, Und der Hauptfokus der Broschüre ist es nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie man diese Analysen mit R. durchführen kann. Wenn Sie neu in der Zeitreihenanalyse sind und mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren möchten, Ich empfehle das Open University Buch Zeitreihe Produktcode M249 02, erhältlich ab dem Open University Shop. In dieser Broschüre verwende ich Zeitreihen-Datensätze, die von Rob Hyndman in seiner Time Series Data Library zur Verfügung gestellt wurden At. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gerne meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analyse. Reading Time Series Data. Eine erste Sache, die Sie tun wollen, um zu analysieren Ihre Zeitreihendaten werden es sein, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können die Daten in R mit der Scanfunktion lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden , Enthält die Datei Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer ursprüngliche Quelle Hipel und Mcleod, 1994.Der Datensatz sieht aus wie diese. Only die ersten paar Zeilen der Datei wurden gezeigt Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Sprungparameter der Scanfunktion verwenden, der angibt, wie viele Zeilen am Anfang der Datei ignoriert werden sollen Die Datei in R, ignorieren die ersten drei Zeilen, wir Typ. In diesem Fall das Alter des Todes von 42 aufeinander folgenden Königen von England wurde in die Variablen Könige gelesen. Wenn Sie die Zeitreihen-Daten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit du R s viele Funktionen zum Analysieren von Zeitreihendaten verwenden kannst. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts in R Zum Beispiel, um die Daten zu speichern In den variablen Königen als Zeitreihenobjekt in R, geben wir ein. Manchmal ist der Zeitreihensdatensatz, den Sie in regelmäßigen Abständen gesammelt haben, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie Geben Sie an, wie oft die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Frequenzparameter in der ts-Funktion verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten legen Sie die Frequenz 12 fest, während Sie für vierteljährliche Zeitreihen die Frequenz einstellen. 4.Sie können auch das erste Jahr angeben Dass die Daten gesammelt wurden und das erste Intervall in diesem Jahr mit dem Startparameter in der ts-Funktion Wenn beispielsweise der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie den Anfang c 1986.2 setzen. Ein Beispiel ist Ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 ursprünglich von Newton gesammelt Diese Daten sind in der Datei verfügbar. Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern Typing. Similarly, enthält die Datei monatliche Verkäufe für einen Souvenir-Shop an einem Strand-Resort-Stadt in Queensland, Australien, für Januar 1987-Dezember 1993 Original-Daten von Wheelwright und Hyndman, 1998 Wir können die Daten in R durch typing. Plotting Time Series lesen. Sie haben eine Zeitreihe in R gelesen, der nächste Schritt ist in der Regel, um eine Handlung der Zeitreihen-Daten zu machen, die man mit der Funktion in R. machen kann. Beispielsweise, um die Zeitreihen des Todesalter zu zeichnen 42 aufeinanderfolgende Könige von England, wir geben ein. Wir können aus der Zeitpläne sehen, dass diese Zeitreihe vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen in den Daten in der Größe über die Zeit grob konstant sind. Ebenso, um die Zeit zu zeichnen Serie der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, wir Typ. Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Variation in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt es einen Höhepunkt jeden Sommer und ein Trog jeden Winter wieder , So scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen, und die zufälligen Schwankungen scheinen auch grob zu sein Konstant in der Größe über time. Similarly, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Badeort in Queensland, Australien zu veranschaulichen, geben wir. In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell nicht geeignet ist, dies zu beschreiben Zeit-Serie, da die Größe der saisonalen Schwankungen und zufällige Schwankungen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen scheinen So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann Beispielsweise können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen. Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen und nicht Hängt vom Niveau der Zeitreihe ab So können die logarithmierten Zeitreihen vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Dcomposing Time Series. Zusammensetzung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu trennen, die in der Regel eine Trendkomponente und eine unregelmäßige sind Komponente, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, ist eine saisonale Komponente. Diskomposition Nicht saisonale Daten. Ansseitige Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente Die Zerlegung der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen , Dh die Schätzung der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente. Um die Trendkomponente einer nicht saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, abzuschätzen, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie z. B. das Berechnen der einfachen Bewegung Durchschnitt der Zeitreihen. Die SMA-Funktion im TTR R-Paket kann verwendet werden, um Zeitreihen-Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten Um diese Funktion zu nutzen, müssen wir zuerst das TTR R-Paket installieren, um Anweisungen zum Installieren eines R-Pakets zu erhalten , Siehe So installieren Sie ein R-Paket Sobald Sie das TTR R-Paket installiert haben, können Sie das TTR R-Paket laden, indem Sie es eingeben. Sie können dann die SMA-Funktion verwenden, um Zeitreihendaten zu reparieren Um die SMA-Funktion zu verwenden, müssen Sie die Auftragsspanne des einfachen gleitenden Mittelwertes mit dem Parameter n Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir in der SMA-Funktion n 5. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe des Todesalter 42 aufeinanderfolgende Könige von England erscheint nicht saisonal und kann vermutlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die zufälligen Schwankungen in den Daten über die Zeit etwa konstant sind. Damit können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe abzuschätzen Durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir. Es scheint immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen in der Zeitreihe, die mit einem geglättet wurde Einfacher gleitender Durchschnitt der Ordnung 3 Um die Trendkomponente genauer zu schätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt einer höheren Ordnung zu glätten. Das braucht ein bisschen Test-und-Fehler, um die richtige Menge zu finden Der Glättung Zum Beispiel können wir versuchen, einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung zu verwenden. Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige Scheint von etwa 55 Jahre alt auf etwa 38 Jahre alt während der Herrschaft der ersten 20 Könige gesunken zu sein, und dann erhöht sich nach etwa 73 Jahre alt bis zum Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Decomposing Seasonal Daten. Die saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer saisonalen Komponente und einer unregelmäßigen Komponente Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihen in diese drei Komponenten zu trennen, die diese drei Komponenten schätzen. Um die Trendkomponente und die saisonale Komponente von a zu schätzen Saisonale Zeitreihen, die mit einem additiven Modell beschrieben werden können, können wir die Zerlegungsfunktion in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend-, Saison - und Unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Die Funktion zerlegt gibt eine Liste zurück Objekt als Ergebnis, wo die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte gespeichert sind, die saisonal, trendartig und zufällig genannt werden. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, die Zeitreihen der Zahl Der Geburten pro Monat in New York City ist saisonal mit einer Spitze jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen scheinen, um ziemlich konstant in der Größe über Zeit zu sein. Um den Trend zu schätzen, Saisonale und unregelmäßige Bestandteile dieser Zeitreihe, die wir eingeben. Die geschätzten Werte der saisonalen, trend - und unregelmäßigen Bestandteile werden nun in Variablen gebundengeburtsstadienkomponenten saisonale, geburtsstadienkomponenten tendenz und geburtsstadienkomponenten zufällig. Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken Durch die Eingabe. Die geschätzten saisonalen Faktoren sind für die Monate Januar-Dezember gegeben und sind die gleichen für jedes Jahr Der größte saisonale Faktor ist für Juli etwa 1 46, und die niedrigste ist für Februar etwa -2 08, was darauf hindeutet, dass es scheint Sei ein Gipfel in Geburten im Juli und ein Trog in Geburten im Februar jedes Jahr. Wir können die geschätzten Trend, saisonale und unregelmäßige Komponenten der Zeitreihe mit der Plot-Funktion, zum Beispiel. Die Plot oben zeigt die ursprüngliche Zeitreihe Top, die geschätzte Trendkomponente zweite von oben, die geschätzte saisonale Komponente drittens von oben und die geschätzte unregelmäßige Komponente unten Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Von dann auf etwa 27 im Jahr 1959.Seasonally Adjusting. If Sie haben eine saisonale Zeitreihen, die mit einem additiven Modell beschrieben werden können, können Sie saisonabhängig die Zeitreihen durch die Schätzung der Saisonkomponente und Subtraktion der geschätzten saisonalen Komponente aus dem Original-Zeitreihen Wir können dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente berechnen, die durch die Zersetzungsfunktion berechnet wird. Zum Beispiel, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in der New Yorker Stadt saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente unter Verwendung von Zerlegung, Und dann subtrahieren Sie die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dann die saisonbereinigte Zeitreihe mit der Plot-Funktion, indem Sie eingeben. Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus der saisonbereinigten Zeitreihe entfernt wurde Die saisonbereinigte Zeitreihe Jetzt nur die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente enthält. Forecasts mit Exponential Smoothing. Exponential Glättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihen Daten. Simple Exponential Smoothing. If Sie haben eine Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden können Mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität können Sie einfaches exponentielles Glätten verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Die einfache exponentielle Glättungsmethode bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels gesteuert Zum aktuellen Zeitpunkt Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1 Werte von alpha, die nahe bei 0 sind, bedeutet, dass bei der Vorhersage von zukünftigen Werten wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei den gesamten jährlichen Niederschlag in Zoll für London, von 1813-1912 Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994 Wir können die Daten in R lesen und zeichnen Sie es durch Tippen. Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstant ist, der Mittelwert bleibt bei etwa 25 Zoll konstant Zufällige Schwankungen in der Zeitreihe scheinen in der Größe über die Zeit grob konstant zu sein, so dass es wahrscheinlich angebracht ist, die Daten mit einem additiven Modell zu beschreiben. So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung machen. Um Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung in R, Wir können ein einfaches, exponentielles Glättungsprädiktionsmodell mit der HoltWinters-Funktion in R einsetzen. Um HoltWinters für eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, müssen wir die Parameter beta FALSE und Gamma FALSE in der HoltWinters-Funktion einstellen. Die Beta - und Gamma-Parameter werden für die exponentielle Glättung von Holt verwendet , Oder Holt-Winters exponentielle Glättung, wie unten beschrieben. Die HoltWinters-Funktion gibt eine Liste Variable, die mehrere benannte Elemente enthält. Zum Beispiel, um einfache exponentielle Glättung verwenden, um Prognosen für die Zeitreihen der jährlichen Niederschlag in London zu machen, geben wir. Die Ausgabe von HoltWinters sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0 024 ist. Dies ist sehr nahe bei Null und sagt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger neueren Beobachtungen beruhen, obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird Standard, HoltWinters macht nur Prognosen für den gleichen Zeitraum von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt In diesem Fall unsere ursprüngliche Zeitreihe enthalten Niederschlag für London von 1813-1912, so dass die Prognosen sind auch für 1813-1912.In dem Beispiel oben, wir Haben die Ausgabe der HoltWinters-Funktion in der Listenvariable rainseriesforecasts gespeichert Die Prognosen von HoltWinters werden in einem benannten Element dieser Listenvariable mit dem Namen Fit gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Tippen erhalten können. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen zeichnen Durch die Eingabe. Die Darstellung zeigt die ursprüngliche Zeitreihe in schwarz, und die Prognosen als rote Linie Die Zeitreihe der Prognosen ist viel glatter als die Zeitreihen der ursprünglichen Daten hier. Als ein Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir Berechnen Sie die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt ist. Die Summe der quadratischen Fehler wird in einem benannten Element der Listenvariablen gespeichert SSE, also können wir seinen Wert durch Tippen bekommen. Das ist hier die Summe-quadrierte Fehler 1828 855. Es ist in der einfachen exponentiellen Glättung üblich, den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Level zu verwenden Zum Beispiel in der Zeitreihe für Niederschläge in London, ist der erste Wert 23 56 Zoll für Niederschlag in 1813 Sie können den Anfangswert für die Ebene in der HoltWinters-Funktion mit dem Parameter z. B., um Prognosen mit dem Anfangswert zu machen Des Levels auf 23 56, wir geben ein. Wie oben erläutert, stellt HoltWinters standardmäßig Prognosen für den Zeitraum dar, der von den Originaldaten abgedeckt ist, was 1813-1912 für die Regenzeit-Zeitreihe ist. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte vorlegen Mit der Funktion im R-Prognosepaket Um die Funktion zu nutzen, müssen wir zunächst das Prognose-R-Paket für Anleitungen zur Installation eines R-Pakets installieren, siehe Wie man ein R-Paket installiert. Wenn Sie das Prognose-R-Paket installiert haben, Kann das Prognose-R-Paket durch Tippen laden. Wenn die Funktion verwendet wird, gibt es als erstes Argument-Input das Vorhersagemodell, das du bereits mit der HoltWinters-Funktion installiert hast. Zum Beispiel haben wir bei den Niederschlagszeitreihen die Prädiktives Modell, das mit HoltWinters in den variablen rainseriesforecasts gemacht wird Sie spezifizieren, wie viele weitere Zeitpunkte Sie vorhersagen möchten, indem Sie den h-Parameter verwenden. Beispielsweise machen Sie eine Prognose von Niederschlägen für die Jahre 1814-1820 8 weitere Jahre mit uns Typ. Die Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersageintervall für die Prognose und ein 95 Vorhersageintervall für die Prognose Zum Beispiel beträgt der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24 68 Zoll mit einem 95 Vorhersageintervall von 16 24, 33 11. Um die Vorhersagen zu veranschaulichen, können wir die Funktion nutzen. Hier werden die Prognosen für 1913-1920 als blaue Linie aufgetragen, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und das 95-Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich Prognosefehler werden als die beobachteten Werte abzüglich der vorhergesagten Werte berechnet, für jeden Zeitpunkt Wir können nur die Prognosefehler für den Zeitraum berechnen, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist, was 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist. Wie oben erwähnt, ist ein Maß für Die Genauigkeit des prädiktiven Modells ist die Summe von quadratischen Fehlern SSE für die Prognosefehler in den Stichproben. Die Prognosefehler in den Stichproben werden in den benannten Elementresten der Listenvariablen gespeichert, die von If zurückgegeben werden. Das Vorhersagemodell kann nicht verbessert werden Auf, es sollte keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen geben. Mit anderen Worten, wenn es Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen gibt, ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob Dies ist der Fall, wir können ein Korrelogramm der in-Beispiel-Prognosefehler für Lags 1-20 erhalten. Wir können ein Korrelogramm der Prognosefehler mit der acf-Funktion in R berechnen, um die maximale Verzögerung anzugeben, die wir betrachten wollen Verwenden Sie den Parameter in acf. For Beispiel, um ein Korrelogramm der in-Beispiel-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Verzögerungen von 1-20 zu berechnen. Wir können aus dem Beispiel-Korrelogramm sehen, dass die Autokorrelation bei Verzögerung 3 gerade berührt Die Signifikanzgrenzen Um zu testen, ob es signifikante Beweise für Nicht-Null-Korrelationen bei Lags 1-20 gibt, können wir einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion durchgeführt werden. Die maximale Verzögerung, die wir sehen wollen, ist Spezifiziert mit dem Lag-Parameter in der Funktion Zum Beispiel, um zu testen, ob es keine Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt, für die in-Beispiel-Prognosefehler für London-Niederschlagsdaten geben wir. Hier die Ljung-Box-Teststatistik ist 17 4, und der p-Wert ist 0 6, so dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in den in-Beispiel-Prognosefehler bei den Verzögerungen 1-20 gibt. Um sicherzustellen, dass das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, ist es auch ein Gute Idee zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt sind Um zu prüfen, ob die Prognosefehler eine ständige Varianz haben, können wir eine Zeitpläne der Prognosefehler in der Probe machen. Das Diagramm zeigt, dass die Prognose der Stichprobe Fehler scheinen eine annähernd konstante Varianz über die Zeit zu haben, obwohl die Größe der Schwankungen im Beginn der Zeitreihe 1820-1830 etwas geringer sein kann als die zu späteren Terminen zB 1840-1850.Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise verteilt sind Bedeutet null, wir können ein Histogramm der Prognosefehler darstellen, mit einer überlagerten Normalkurve, die mittlere Null und die gleiche Standardabweichung wie die Verteilung der Prognosefehler hat. Hierzu können wir eine R-Funktion plotForecastErrors definieren Um die Funktion oben in R zu kopieren, um sie zu benutzen Du kannst dann plotForecastErrors verwenden, um ein Histogramm mit überlagerter Normalkurve der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersagen zu zeichnen. Das Diagramm zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null ausgerichtet ist und Ist mehr oder weniger normal verteilt, obwohl es im Vergleich zu einer normalen Kurve etwas schief zu sein scheint. Allerdings ist die richtige Schiefung relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt werden. Die Ljung - Box-Test zeigte, dass es wenig Beweis für Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern gibt, und die Verteilung der Prognosefehler scheint normalerweise mit dem mittleren Null verteilt zu sein. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättungsmethode ein adäquates Vorhersagemodell für London bereitstellt Niederschlag, der vermutlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersageintervalle darauf beruhten, dass es keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern gibt und die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null verteilt sind und konstante Varianz wahrscheinlich gültig sind. Holt S Exponentielle Glättung. Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmendem oder abnehmendem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holts s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt s exponentielle Glättung schätzt das Niveau und die Steigung Zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch zwei Parameter, alpha, für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert Wie bei einfacher exponentieller Glättung, Die paramters alpha und beta haben Werte zwischen 0 und 1 und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die wahrscheinlich mit einem Additives Modell mit einem Trend und keine Saisonalität ist die Zeitreihe des Jahresdurchmessers der Frauen am Röcke am Saum, von 1866 bis 1911 Die Daten sind in der Datei Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994.Wir können lesen und Plot Die Daten in R durch Tippen. Wir können aus der Handlung sehen, dass es einen Anstieg des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 im Jahr 1880 gab und dass danach der Saumdurchmesser auf etwa 520 im Jahr 1911 sank. Um Prognosen zu machen, haben wir Kann ein Vorhersagemodell mit der HoltWinters-Funktion in R einsetzen. Um HoltWinters für Holt s exponentielle Glättung zu verwenden, müssen wir den Parameter gamma FALSE setzen, der Gamma-Parameter wird für Holt-Winters exponentielle Glättung verwendet, wie unten beschrieben. Zum Beispiel, um Holt zu verwenden S exponentielle Glättung, um ein prädiktives Modell für Rock Saum Durchmesser passen, geben wir. Der geschätzte Wert von Alpha ist 0 84, und von Beta ist 1 00 Dies sind beide hoch, sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes der Ebene, Und der Steigung b der Trendkomponente beruhen meistens auf sehr neueren Beobachtungen in der Zeitreihe Das macht einen guten intuitiven Sinn, da sich das Niveau und die Steigung der Zeitreihen im Laufe der Zeit sehr viel ändern. Der Wert der Summe - Of-squared-fehler für die in-sample prognostizierfehler ist 16954.Wir können die ursprüngliche zeitreihen als schwarze linie zeichnen, mit den prognostizierten werten als rote linie oben, indem du schreibst. Wir können aus dem Bild sehen, dass Die Prognosen der Stichproben stimmen mit den beobachteten Werten gut überein, obwohl sie dazu neigen, die beobachteten Werte ein wenig zu hinterlegen. Wenn Sie es wünschen, können Sie die Anfangswerte des Levels und die Steigung b der Trendkomponente mit dem Und Argumente für die Funktion HoltWinters Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe 608 für die Röhrendaten und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes 9 für die Röcke einzustellen Daten Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für die Ebene und 9 für die Steigung b der Trendkomponente, geben wir ein. Für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt sind, indem sie die Funktion im Prognosepaket verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihendaten für Rock-Saumen für 1866 bis 1911, so dass wir für 1912 bis 1930 Vorhersagen 19 weitere Datenpunkte machen können, Und zeichnen sie auf, indem sie schreiben. Die Prognosen werden als blaue Linie dargestellt, wobei die 80 Vorhersageintervalle als orangefarbener Schattenbereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich liegen. Für eine einfache exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob die Vorhersage Modell konnte verbessert werden, indem überprüft wurde, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerung bei den Verzögerungen von 1-20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rock-Saumdaten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durch Eingabe durchführen. Wenn das Korrelogramm zeigt, dass die Stichprobenautokorrelation für die in-Beispiel-Prognosefehler bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt. Allerdings würden wir erwarten, dass einer in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95-signifikante Grenzen durch Zufall allein übersteigen In der Tat, Wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0 47, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in den in-Beispiel-Prognosefehlern bei den Verzögerungen 1-20 gibt. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir Überprüfen Sie auch, dass die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben und normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Wir können dies tun, indem wir eine Zeitpläne von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve machen. Das Zeitplot Von Prognosefehlern zeigt, dass die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine etwa konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler in der Regel mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigt, dass es wenig gibt Nachweis von Autokorrelationen in den Prognosefehlern, während die Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt werden. Daher können wir schließen, dass Holts s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell liefert Für Rock-Saumdurchmesser, die vermutlich nicht verbessert werden können. Darüber hinaus bedeutet das, dass die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersage-Intervalle auf basieren, wahrscheinlich gültig sind. Holt-Winters Exponentielle Glättung. Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die beschrieben werden kann Ein additives Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und Saisonalität, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt die Ebene, Steigung und saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch drei Parameter gesteuert Alpha, beta und gamma, für die Schätzungen des Levels, der Steigung b der Trendkomponente und der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1 und Werte Das sind nahe bei 0, dass relativ wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen bei der Vorhersage von zukünftigen Werten gesetzt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe der Protokoll der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Strand-Ferienort in Queensland, Australien oben diskutiert. Um Prognosen zu machen, können wir ein prädiktives Modell mit der HoltWinters-Funktion passen Zum Beispiel, um ein prädiktives Modell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe in passen Die Souvenir-Shop, die wir eingeben. Die geschätzten Werte von Alpha, Beta und Gamma sind 0 41, 0 00 und 0 96. Der Wert von alpha 0 41 ist relativ niedrig, was darauf hinweist, dass die Schätzung des Pegels am aktuellen Zeitpunkt Beruht auf den jüngsten Beobachtungen und einigen Beobachtungen in der weit entfernten Vergangenheit. Der Wert von beta ist 0 00, was anzeigt, dass die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente nicht über die Zeitreihe aktualisiert wird und statt dessen gleichgesetzt wird Wert Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau ändert sich ziemlich viel über die Zeitreihe, aber die Steigung b der Trendkomponente bleibt ungefähr gleich Im Gegensatz dazu ist der Wert von Gamma 0 96 hoch, was darauf hindeutet, dass die Schätzung der Saison Komponente zum aktuellen Zeitpunkt ist nur auf sehr jüngsten Beobachtungen basiert. Für eine einfache exponentielle Glättung und Holt s exponentielle Glättung können wir die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie zeichnen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen. Wir sehen aus der Handlung, dass die Holt-Winters-Exponentialmethode sehr erfolgreich bei der Vorhersage der saisonalen Gipfel ist, die etwa im November jedes Jahr auftreten. Um Prognosen für zukünftige Zeiten zu machen, die nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten sind, verwenden wir die Funktion in der Prognose Paket Zum Beispiel sind die ursprünglichen Daten für die Souvenirverkäufe von Januar 1987 bis Dezember 1993 Wenn wir Prognosen für Januar 1994 bis Dezember 1998 48 weitere Monate machen wollten und die Prognosen abgeben wollten, würden wir schreiben. Die Prognosen werden als blau dargestellt Linie, und die orange und gelb schattigen Bereiche zeigen jeweils 80 und 95 Vorhersageintervalle. Wir können untersuchen, ob das prädiktive Modell verbessert werden kann, indem man prüft, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerung bei Verzögerungen von 1-20 zeigen Ein Korrelogramm durchzuführen und den Ljung-Box-Test durchzuführen. Das Korrelogram zeigt, dass die Autokorrelationen für die Prognosefehler in den Stichproben die Signifikanzgrenzen für die Verzögerungen 1-20 nicht überschreiten. Außerdem ist der p-Wert für den Ljung-Box-Test 0 6 , indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20.We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram with overlaid normal curve. From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However , if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example , the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once , and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1- 20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1 , since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model , but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2 ,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero , than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings , and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung - Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis , I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane - Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.